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关于傅利叶变换的一些数学解释兼及其它

  : 关于傅利叶变换的一些数学解释兼及其它

发信站: 饮水思源 (2007082800:49:13 星期二), 站内信件

发信人: ulysses(奥德修斯-卢库卢斯-布鲁姆), 信区: IE

 

向前进, 你就会产生信念.

                                        ——朗贝尔

 

傅利叶变换是信号系统的奠基石,小波分析的基础理论,理论的粗疏理解固然不难但是要达到深刻的境界,是不能仅仅依靠教科书的

 

Q1:为何要在通讯中使用傅利叶变换?(fingers)

 

A11:

一个函数的傅立叶变换,本质上是把函数分解到一个垂直的坐标系, 每个坐标分量称为频率,在这个坐标系下的系数(本身是一个函数),我们称它为这个函数的频谱。

 

人们想理解怎么样能够控制信号在不同频率下传递 ,因为自然介质对不同频率信号响应不同。然后还要考虑如何能够在改变信号频率前后,最小程度的减小或者增大某些量,比如信噪比,或者熵,或者其他度量。傅立叶变换可以对这些问题提供工具。数学上,也更容易操作。

 

傅利叶变化在工程和物理中使用十分广泛。(Valetine

 

A12:

 

Fourier Transform是把给定信号用一大堆简单周期信号做一个线性叠加。 

那一大堆简单的周期信号可以认为是基。这个基很nb,具有很多性质,比如正交。同时,还存在一种快速算法。所以总的来说Fourier Transform实在是只应天上有的完美理论。

(filestorm)

 

Q2:请问.如果对于本身是正旋波的信号.频率比如说是5MHZ,做过傅立叶变换.那频率是否仍然还和原来相同?

 

A21:

 

正弦波座傅立叶变化后就不是周期性的了,所以也就不存在什么频率了 

但是这个变化的冲激是位于5MHZ和-5MHZ处(dwang)

 

A22

 

首先, Fourier变换只是给人们提供另一个视角去看信号而已.

 

有人认为时域看信号直观些;有人认为频域看信号直观些;还有人喜欢即从时域又从频域看信号, 这要看应用场合的.

 

讲得再远点,除了时域和频域,你还可以从s域去看信号呢(利用Laplace变换)另外,同一个信号,是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,无论你从哪个域去看.

 

从时域看一个sine wave, 以时间为x,信号的波形是repeated,所以人们很直观地认为那是"周期的"从频域看一个sine wave, 以频率为x, 信号的"频谱"2"脉冲",但它仍有频率,仍是周期的。(QueueingSys)

 

A23:

 

傅立叶变换是一个数学工具,它能把信号对角化到不同的频率。但是信号本身的性质和傅立叶变换没有关系,就是说,不管你做不做傅立叶变换,一个信号还是它本身,比如:5Mhz依然不变。只是换了坐标系来考虑和处理信号,在这个坐标系下操作的好处,就是所有的频率对应于某一个内积是垂直的。(Valetine)

 

A24:

 

1. X1+X2+X3+..+Xn  三个未知数服从不同的分布,想求在其和小于常数K的概率。

 

  一种是在时域上解的话是n重积分,极其繁琐。

 

  一种是用蒙托卡罗模拟,但得到的结果不是解析解,有方差。

 

  一种是用傅立叶变换变到频域,指数项使+变成了X,化简以后,使用反变换,这里有很多快速数值算法,比如经典的Euler算法。这要比第一种简单很多。

 

2. 假设你对T时间内的invariant的分布建了模,而你在其分布特性不变的假设下想求NT时间的分布的话,如果T时间分布模型是使用拟和等统计方法得到的话,时域是根本无法得到的。 只有转到频域利用projection的特性,再转回来。(zekong)

 

A25:

信号无论在哪个空间下,都是有频率的。但是上文说到的不存在频率是指Fourier Spectrum上再对frequencyfrequency,一般来说,这很难找到一个说得通的物理解释。

 

但这个操作是有据可查的,叫做Liftering,一般工程上Fourier Analysis文献甚少有纪录而已。实际上是可以用来做一些奇怪的检测。(filestorm)

 

Q3:谈谈傅利叶变换

 

A31:感觉大多咱们研究的都是实直线上的可测函数类,这里可测指的是Lebesgue可测(勒贝格可测),如果说 LpIR)指的是IR(实直线)上的可测类,则应该满足:

 

L积分(|f(x)|^p)dx有界L无穷(IR)指的处处有界函数类

 

一般来说感觉咱们研究的傅立叶变化实际只是很初等的L1IR)上的,L2IR

 

本身Lp空间就是一个Banach空间,成立Minkowski不等式,Holder不等式,及Schwarz不等式,赋予内积后,即变成一个Hilbert空间。

 

f(x)属于L1(IR)时,F(w)属于L无穷(IR),并且再L1(IR)上一致连续

 

如果f(x)属于L2(IR),那么傅立叶变换L2空间到L2空间的映射

 

如此有很多值得分析的结论和定理....

 

分析学东西很多,虽然都很精彩但理解起来总突然感觉自己原来还是很多不清楚

对于咱们工程应用更是接触的少,比如随机过程就算搞的再熟,也不过就是多了几种建模方法而已,什么排队论啥的而已;

 

当一旦发现如果AX的一个simga环,(AX)构成一个可测空间,uX=1,时可测集变成了随机事件,而(A,X)才构成了概率可测空间时,才发现我们学很多东西是忽略的东西更多.(vole)

 

A32:

 

如果要从泛函的角度讨论的话,那么数学分析里一些最困难的问题都会归结到傅立叶分

析(或者调和分析)上。

 

工程上,大部分时候都是以拿来主义的态度,数学家列个表格傅立叶变换,工程师直接用就是了。但是如果真的要从定义出发,很多非常常用的函数,就很难做傅立叶变换。

 

比如冲击信号,阶跃信号,或者高斯分布,要严格的定义的话,需要用泛函的知识。前面的讨论就是这些知识的基础。

 

当然如果不研究数学,并不影响任何人用这些结论。

 

理解傅立叶变换基本的性质,稍微看一些调和分析,泛函的书(如果你觉得有必要知道那些列表是怎么来的),多想想为什么要用卷积来描述系统对信号的响应(对卷积的理解很可能是最重要的),这些基本问题个人认为是核心。而且可以看到,同样是傅立叶分析,大家的讨论却是大相径庭,有从estimation的角度

,有从纯数学的角度,等等。这也能说明这个理论的重要,和它广泛的应用。(valetine)

 

A33

 

说到Entropy,刚好正在写一点东西。忍不住再说两句。尽量用大白话说。

 

同一个信号,可以通过各种基底B和系数c的表达。比如我们可以算H(c),那么这个熵实际上就表达了待表达信号与基底的相似性。或者也可以说,是用那个基底来表达这个待表达信号的复杂程度。

 

如果直接对原信号xH(x),那实际上默认了基底是I,如果用Fourier Basis来求,那么默认了基底是exp(i \omega t)

 

但是如果用Fourier基底表达大白纸上一个小黑块儿,显然就没有用空域直接表达来得方便。同理,如果在时域表达一个和弦信号,就不如Fourier更好地表述了其内蕴的物理模型。

 

总结一下:从Entropy的角度,我们可以看出在某种表达的复杂程度,尽量选择那些有物理背景的表达,会使得分析的难度大大简化。

 

具体地说,通讯里面信息很多是承载在周期变化的物理模型上的,对于波的分析,自然Fourier会有一定优越性了。(filestorm

 

Q4:谈谈卷积(valetine

 

1,卷积本身是一个理论的,convolution calculus

 

 刚开始学信号系统的话,一般总会对这个操作感到奇怪,

 

 比如信号 f(x), LTI系统冲击响应 g(x)

 

 为什么一个LTI系统对信号的响应是 f(x)g(x) 的卷积?而且什么是卷积呢?

 

 要比较让人满意的理解这个问题,一般是需要一点数学知识的。

 

 稍微离点题,一般的说,函数可以理解为把一些点映射到另一些点上的操作,

 

 如果我们现在要建立一个操作,可以把一些函数映射到另一些函数上,我们说这个操作是operator. 一个简单的对函数的操作, 可以是微分 df(x)/dx,积分 \int f(x),等等.

 

 那么系统就是一个operator L,输入一个信号 f(x),输出一个信号 u(x)。表示成L( f(x) ) = u(x)

 

 现在想象一个LTI离散系统,我们放入一个冲击 delta(x),系统输出信号 g(x), 如果我们把输入信号分解成很多 c(t) delta(x-t)的和,c(t)表示信号在某个时间的大小(如果是复数的话,还有相位),t表示延迟的多少,那么因为是线性系统,我们可以把输出叠加,而且是非时变系统,所以每个 delta(x) 的响应仅仅是时间上的延迟。 所以输出的结果就是

 

  \sum c(t) g(x-t)

 

 就是所谓的离散和的形式。同样的道理,如果系统是连续的,那么这个和的形式就变成积分。我们称为卷积。

 

2,

现在我们试图来解释,

 

 为什么傅立叶变换后,时域上的卷积,变成频域上的乘积?

 

 当然我们可以从定义出发,做 f(x) * g(x) 的傅立叶变换,然后换变量,就可以分成 F(jw) G(jw) 的乘积。 但是这个基本上是做数学游戏,不是让人觉得满意。

 

 现在我们换个角度来考虑。

 

首先要我们需要LTI系统的一个性质,频率响应。

 

 简单的说,一个LTI系统对于正弦信号的输出,也是一个正弦信号,而且信号的周期不变,变换的是信号的幅度和相位。这个特点本质上是因为 e^{jwx} 是微分算子的特征方程,就是说对 e^{jwx} 求导以后,还是它本身,变化的仅仅是幅度和相位。

 

 d e^{jwx} / dx  = jw e^{jwx}

 

从这里自然就会展开去很多概念,比如传输方程,特征根等等。

 

 然后我们来考虑 函数 f(x) = e^{jnx}, n 是自然数

 

这个函数周期为 2 pi/n.  而且有一个非常重要的性质就是,e^{jnx}e^{jmx}

 

  [0,2pi) 上的积分满足

 

 \int e^{jnx} e^{-jmx} = 0 , 如果 n 不等于 m;

 

 \int e^{jnx} e^{-jmx} ~= 0 ,如果 n=m

 

 我们称这个性质为函数垂直。我们可以把自然数扩展到所有实数,积分从[0,2pi)扩展到(-inf, +inf),那么 e^{jwx} w 属于实数, 构成一个垂直的坐标系。

 

 最后我们考虑傅立叶变换。

 

 F(jw) = \int f(x) e^{jwx} dx

 

 有了垂直坐标系的概念后,我们可以把傅立叶变换理解为一个函数在不同特征方程的分量。

 

 比如说,f(x) = cos(x), 一个周期 2pi 的信号,那么 F(jw) 就是两个在 -1 +1 的冲击。之所以我们把信号放在频域里,就是因为不同频率的信号,它们相对与一个内积(这里的内积就是以上的积分)是垂直的。

 

 有了以上的概念以后,就可以理解卷积定理了。

 

3,有了特征方程垂直的概念后,我们来看卷积定理。

 

首先我们做傅立叶变换,把信号 f(x) 分解到不同的特征方程 e^{jwx}上。

 

对于确定的 wF(jw) 就是这个数,表示 f(x) e^{jwx}上的分量。

 

然后我们让 w 变化,于是 F(jw) 是一个函数,我们称它为 f(x) 的频谱。

 

前面提到LTI系统的频响,输入 e^{jwx} 输出 g(jw) e^{jwx},变化的是幅度和相位,这些信息都包含在系数 g(jw) 中。

 

 现在我们让 w 变化,可以测出系统的频响 G(jw),到此为止,我们已经把 f(x) 分解,又得到系统频响,那么运用叠加的性质, 线性系统的输出很自然就是:

 

    G(jw) F(jw)

 

最后鸣谢所有八系学长无私奉献自己的心得,这种心得是比什么书上的证明都更珍贵的。

 

--

  有两样东西,我们愈加持久的加以思索,他们就愈使心灵充满日新又新,有加无已的景仰和敬畏——在我们头上的灿烂星辰和在我们心中的道德法则,我毋需寻求它们或仅仅推测它们,仿佛他们隐藏在黑暗之中或在视野之外逾界的领域,我看到他们在我面前,把它们直接与实存的意识连接起来。

                                       ----伊曼纽尔 康德

 

摘自:http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon?board=IE&reid=1188233287

 

 

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